Основы технической механики Методика решения задач

Методические указания по решению задачи № 41 - 50

Для заданной консольной балки построить эпюру из изгибающих моментов и подобрать из условия прочности размера поперечного сечения в двух вариантах:

а) двутавр или сдвленный швеллер;

б) прямоугольник с отношением высоты и ширины h / b = 3. Сравнить массы балок по обоим расчетным вариантам.

Материал балки – сталь Ст3, [σ] = 160 МПа.

Пример 1.


 Решение.

Строим эпюру изгибающих моментов по характерным точкам.

МА = 0; МВ = F2 · 4 = 20 · 4 = 80 кНм

Мс = - F1 · 2 + F2 · 6

Мспр = - 45 · 2 + 20 · 6 = - 90 + 120 = 30 кНм

Мслев = - М – F1 · 2 + F2 · 6 = - 25 – 90 + 120 = - 5 кНм

МДпр = F2 · 8 – F1 · 4 – М = 20 · 8 – 45 · 4 – 25 = - 45 кНм

Определяем опасное сечение. Опасное сечение балки, где действует максимальный момент. Это сечение В, в нем Мин = 80 кНм.

Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности.

σиmax = Миmax / Wх ≤ [σ]; Wх ≥ Ми max / [σх]

Wх = 80 · 103 · 103 / 160 = 500 · 103 мм3 = 500 см3.

По таблице ГОСТ 8239 – 89 выбираем двутавр № 30а: момент сопротивления Wх = 518 см3; А = 49,9 см2, А – площадь сечения.

  Для сравнения рассчитаем размер балки квадратного сечения при том же моменте сопротивления сечения.

Wx = b3 / 6; Wx = 500 см3 = b3 / 6; b ≥ √6Wx.

b = 3 √6 · 500 = 14.5 см, b – сторона квадрата.

А = b2 = 14,52 = 200,2 см2.

А – площадь сечения квадрата.

Аквадрата / Адвутавра = 200,2 / 49,9 = 4,2

Балка квадратного сечения в 4 раза тяжелее.

Пример 2.

F1 = 15 кН; F2 = 18 кН;

F3 = 5 кН; М = 20 кНм

Решение.

Строим эпюру изгибающих моментов по характерным точкам.

МВ = 0; Мслев = - F1 ·2 = - 30 кНм

Мспр = - F1 · 2 + М = - 30 + 20 = - 10 кНм

МДлев = - F1 · 5 + М = - 75 + 20 = - 55 кНм

МЕлев = - F1 · 7 + М – F2 · 2

МЕлев = - 15 · 7 + 20 – 18 · 2 = - 121 кНм

МАлев = - F1 · 9 + М – F2 · 4 + F3 · 2

МВлев = - 15 · 9 + 20 – 18 · 4 + 5 · 2 = - 177 кНм

Определяем опасные сечения. Опасные сечения балки, где изгибающей момент наибольший. Это сечение А, в нем МА = 177 кНм.

Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности.

σиmax = Mumax / Wx ≤ [σ];

Wx = Mumax / [σ] = 177 · 103 · 103 / 160 = 1106 ·103 мм3 = 1106 см3

Так как сечение балки сдвоенный швеллер, то Wx = 1106 / 2 = 553 см3.

По таблице ГОСТ 8240 – 89 выбираем швеллер № 36; момент сопротивления Wx = 601 см3; А = 53,4 см2. А - площадь сечения.

Для сравнения рассчитываем размеры балки прямоугольного сечения при том же моменте сопротивления.

Wx = b · h2 / 6; h / b = 3

Wx = b · 9 · b2 / 6 = 3 / 2 · b3

Wx = 553 см3 = 3 / 2 · b3; b = 3√2 · Wx / 3; b = 3 √2 · 553 / 3 = 7,17 см

h = 3 · b = 21,51 см

А = b · h = 7,17 · 21,51 = 154,155 см2

Апр / Алев = 154,155 / 53,4 · 2 = 1,4.

 Балки прямоугольного сечения в 1,4 раза тяжелее