Техническая механика Методика решения задач

Примеры решения задач

Задача 1. По наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом, скатывается без скольжения 1) сплошной однородный диск, 2) шар. Определить линейное ускорение их центров. Предварительно вывести общую формулу.

Тело участвует в сложном движении:

1) поступательно движется вниз по наклонной плоскости; 2) вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести.

На рисунке покажем силы, действующие на тело.


Для поступательного движения запишем II закон Ньютона в проекциях на ось OX.

.  (1)

Для вращательного движения используем закон

,  (2)

где - момент инерции,  - угловое ускорение.

Момент силы создает сила трения, плечо которой равно R, две другие силы не создают вращающего момента.

.

Перепишем (2):

.

Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):

Отсюда

 . (4)

Зная моменты инерции диска и шара

,

найдем ускорения диска и шара

,

Ответ: ,

Задача 2. Вертикальный столб высотой  подпиливается у основания и падает на землю, поворачиваясь вокруг основания. Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю. Трением пренебречь.


На рисунке C- центр тяжести столба. Применим закон сохранения механической энергии. Масса распределена равномерно, поэтому в выражении для потенциальной энергии при вертикальном положении столба возьмем высоту его центра тяжести  относительно нулевого уровня отсчета: .

В горизонтальном положении столб приобретает кинетическую энергию

где J - момент инерции относительно оси, проходящей через неподвижный конец, w- угловая скорость.

. (1)

По теореме Штейнера

.

Угловую скорость выразим через линейную скорость упавшего конца:

.

Подставив  и  в (1), найдем

.

Ответ: .

Задача 3. Стержень массой  и длиной  может свободно вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его верхний конец. Стержень отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет о малую шайбу массой .

Определить скорость шайбы после удара.

Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии проведем через центр тяжести стержня С при вертикальном положении стержня. Запишем закон сохранения механической энергии для стержня до удара.

  (1)

где ,   - угловая скорость стержня.

Для описания упругого соударения стержня с шайбой используем закон сохранения момента импульса

  (2)

и закон сохранения механической энергии

.  (3)

В уравнении (2) mVl- момент импульса шайбы. Напомним, что для материальной точки  У шайбы r = l,

Перепишем (2) и (3):

  ; (4)

. (5)

Разделив (5) на (4), найдем связь между  и :

.  (6)

Подставив (6) и  в (4), получим

.  (7)

Используем (2), тогда (7) примет вид

Ответ: